Ft - siła tarcia; Fg- siła ciężkości; FR- siła reakcji do powierzchni po której stacza się bryła ( kula, walec, obręcz )
Jeśli bryła stacza się bez poślizgu to przyspieszenie liniowe środka masy jest równe przyspieszeniu liniowemu punktów na obwodzie bryły.
(1) a=Ɛ۰R
a - przyspieszenie środka masy bryły obrotowej; Ɛ - przyspieszenie kątowe bryły obrotowej; R - promień bryły obrot
Możemy teraz napisać równanie II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego gdzie oś obrotu będzie w miejscu styku bryły z powierzchnią po której bryła się stacza. Wykorzystamy wówczas twierdzenie Steinera, gdzie (2) I = Io + mR2
(3) IƐ = F1R
Dla kuli moment bezwładności będzie wynosił wówczas I = 2/5 MR2 + MR2 = 7/5 MR2 ; dla walca odpowiednio I = 3/2 MR2
(4) I (a/R) = mg(sinα ) R
Korzystając z równania 1, 2 i 4 otrzymamy:µ
(5) a= (g sinα) / ( 1 + ( Io / mR2 ))
Z II zasady dynamiki ruchu postępwego możemy zapisać :
(6) ma = mg ( sinα ) - Ft
Wówczas siłę tarcia z wkorzystaniem równania (5) możemy zapisać:
(7) FT = mg sinα ( Io / ( Io + mR2 ))
Aby te bryły ( kula, walec ) staczały się bez poślizgu (8) Ft ≤ µ FN = µ mg cosα ; µ - współczynnik tarcia
Na tej podstawie możemy wyznaczyć maksymalny kąt nachylenia stoku aby ruch odbywał się bez poślizgu, wykorzystamy równanie (7) i (8):
(9) αmax= arctg (µ ( 1 + (mR2 / Io )) Dla kuli i odpowiedni dla walca te kąty wynoszą (10) αk = arctg ( 7µ/2 ) ; (11) αw = arctg ( 3µ )
18.11.2020
