Czas trwania: jedna jednostka lekcyjna (45 min)
Przedmiot nauczania: Fizyka
Dział programowy: Grawitacja
Temat: Prawa Keplera
Cele zajęć:
- ogólne:
I. znajomość i umiejętność wykorzystania pojęć i praw poznanych na lekcji z dynamiki ruchu jednostajnego po okręgu do opisu ruchów planet, przyswojenie przez U określonego zasobu wiedzy na temat praw Keplera.
II. Analiza tekstów popularnonaukowych i ocena treści: na podstawie fragmentów książki: David L. Goodstein, Judith R. Goodstein, Zaginiony wykład Feynmana: ruch planet wokół Słońca, przełożyli Ewa L. Łokas i Bogumił Bieniek, Prószyński i Ska, Warszawa 1997.
III. Przetwarzanie informacji zapisanych w postaci tabel i wykresów;
IV. Budowa modeli matematycznych opisu zjawisk
- operacyjne:
a) zapamiętanie (U. oblicza okres ruchu satelitów bez napędu wokół Ziemi; oblicza okres obiegu planet i ich średnie odległości od gwiazdy, z wykorzystaniem III prawa Keplera dla orbit kołowych; oblicza masę ciała niebieskiego na podstawie obserwacji ruchu jego satelity);
b) rozumienie (umie uzasadnić wzór na prędkość i przyspieszenie w ruchu jednostajnym po okręgu, rozumie różnicę między siłą dośrodkową a odśrodkową) oblicza parametry ruchu jednostajnego po okręgu;
c) stosowanie wiadomości w sytuacjach typowych (wyznaczanie parametrów ruchu )
d) stosowanie wiadomości w sytuacjach problemowych.
- wychowawcze
zaangażowanie U w zdobywanie wiedzy, współdziałanie w grupie,
Uniwersalność praw przyrody, dokładne wykonywanie obliczeń, staranne sporządzanie wykresów, bezpieczeństwo lotów kosmicznych.
Metody nauczania:
pogadanka, wykład, ćwiczenia rachunkowe, wspomaganie komputerowe;
Formy pracy:
praca indywidualna, w grupach wspomagana przez N.
Pomoce dydaktyczne:
komputer, rzutnik multimedialny.
Przebieg lekcji
Faza wstępna:
Sprawy porządkowe
Krótkie omówienie własności elipsy. Przypomnienie wiadomości o ruchu jednostajnym po okręgu, o polu ciężkości, przypomnienie pojęcia momentu pędu, przypomnienie drugiej i trzeciej zasady dynamiki.
Ruch po okręgu
Koło o promieniu R ma obwód 2π R. Po okręgu ruchem jednostajnym porusza się niewielki (punktowy) przedmiot. Jeśli okres pełnego obiegu jest T, szybkość przedmiotu w ruchu po kole wynosi
V = 2πR/T
Tutaj ω oznacza prędkość kątową obiegu
ω=2π/T
Przyspieszenie a w ruchu jednostajnym po okręgu powstaje wskutek zmiany kierunku prędkości ruchu. Wektor prędkości dokonuje (w przestrzeni prędkości) pełny obrót podczas okresu T. Taki sam okres T potrzebny jest przedmiotowi na pełny obrót w przestrzeni położeń. Zatem
a = (2πV) / T = ωV = ω2 R = ( 2π/T)2 R
Przyspieszenie a skierowane jest wzdłuż promienia R, do środka koła.
Siła powszechnego ciążenia
F = G Mm / R2
Siła z jaką dwa ciała o masach m i M przyciągają się wzajemnie jest wprost proporcjonalna do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu wzajemnej odległości r. Współczynnik Podanie tematu i omówienie celów lekcji.
Faza realizacji:
N. Jak planety poruszają się wokół Słońca?
N omawia pokrótce własności elipsy
Ocena mimośrodu orbity Ziemi
Od równonocy wiosennej do równonocy jesiennej upływa 186 dni, a od równonocy jesiennej do równonocy wiosennej tylko 179 dni. To spostrzeżenie wskazuje na to, że mimośród orbity Ziemi nie jest dokładnie równy zeru. Równik niebieski przecina orbitę Ziemi na dwie części o długościach w proporcji 186 do 179. Mimośród Ziemi jest w przybliżeniu
e = (π/4) (186-179)(186+179)-1 = 0,015
Mimośrody planet i innych ciał układu słonecznego
Prawa Keplera dotyczą nie tylko planet, ale i innych ciał układu słonecznego. W przypadku orbity Ziemi, odległość 2f między ogniskami stanowi około 1% średnicy orbity, w przypadku Marsa 9%, w przypadku Merkurego ponad 20%.
Ciałami o dużej mimośrodowości okazały się komety i asteroidy, wykryte już po czasach Keplera. Kometa Halleya ma spłaszczoną orbitę eliptyczną: odległość między ogniskami wynosi 97% wielkiej osi orbity. Karłowata planeta Pluton (obecnie formalna nazwa 134340 Pluto) wykryta w roku 1929 ma duży mimośród: 0,246.
Rysunek 2. Równanie elipsy we wspólrzędnych biegunowych r.
r = p / ( 1 + ecos Ø ), gdzie p = b2 / a
Dwa pierwsze prawa Keplera
Dwa pierwsze prawa Keplera opisują ruch planety po orbicie wokół Słońca.
1. Orbita każdej z planet jest elipsą; w jednym z dwu ognisk elipsy znajduje się Słońce.
2. Linia łącząca planetę i Słońce (tzw. promień wodzący planety) w jednakowych odstępach czasu zamiata obszary o jednakowej powierzchni.
Ponieważ pierwsze prawo głosi, że planeta porusza się po orbicie eliptycznej, planeta zmienia swą odległość od Słońca. Prędkość liniowa planety w punkcie przysłonecznym, peryhelium jest największa, w punkcie odsłonecznym, aphelium – najmniejsza. Gdy jest bliżej Słońca musi się poruszać szybciej, po to by zamieść promieniem wodzącym obszar o tej samej powierzchni. Załóżmy, że planeta potrzebuje pewnego czasu na przejście po orbicie z punktu A do punktu B, patrz rys. 3. Linie poprowadzone od Słońca do punktów A i B (to znaczy promienie wodzące) wraz z wycinkiem orbity AB tworzą figurę (krzywoliniowy trójkąt SAB) o pewnym określonej powierzchni P. Promień wodzący planety będzie zakreślał obszar o tej samej powierzchni P innych odcinkach orbity, niezależnie od tego, gdzie planeta znajduje się na orbicie; może to być np. trójkąt krzywoliniowy SCD.
Prawo zachowania momentu pędu
Z drugiej strony wiemy, że moment pędu punktu względem punktu O wynosi :
L= rmv sinα = 2mŚ
i jest proporcjonalny do prędkości polowej. Jeśli prędkość polowa jest stała, to moment pędu jest stały.
Tak więc drugie prawo Keplera jest stwierdzeniem o zachowaniu momentu pędu.
Trzecie prawo Keplera w ruchu po okręgu
Przypuśćmy, że orbita planety jest kołowa. Wtedy siła dośrodkowa utrzymująca planetę na orbicie wywoływana jest przez siłę ciążenia powszechnego
F = GMm/R2
ma = GMm/R2
m ( 2π/T)2 R = GMm/R2
T = 2π R3/2 / ( GM)1/2
Czas potrzebny planecie do obiegu Słońca po orbicie kołowej jest proporcjonalny do promienia orbity podniesionego do potęgi 3/2.
Jeśli mamy ruch dwu planet 1 i 2 po dwu okręgach o promieniach R1 i R2 , to zachodzą równania
( 2π/T1)2 = GM/R3 1 ; (2π/T2 )2 = GM/R32
Stąd otrzymamy
(T1/T2)2 = (R1 / R2 )3
Jest to III prawo Keplera wyprowadzone dla ruchu po okręgu.
Dla dwóch planet poruszających się po elipsach o dwóch półosiach wielkich a1 i a2 mamy:
(T1 / T2)2 = ( a1/a2)3
Trzecie prawo Keplera, ogłoszone przez niego w roku 1619 wiąże odległość planety od Słońca z okresem obiegu po orbicie. Trzecie prawo nazywane jest nieraz prawem harmonicznym, ponieważ Kepler uważał, że wyraża ono muzykę sfer.
Trzecie prawo, jak widzieliśmy na przykładzie ruchu po okręgach podaje związek między odległością planet od Słońca a ich okresami obiegu Słońca. Mówi ono, że im są dalej od Słońca tym planety poruszają się wolniej po swoich orbitach.
Podział U na grupy. N. rozdaje karty pracy monitoruje pracę U.
Karta pracy grupy uczniów nr 1
Na podstawie przedstawionej w czasie lekcji tabeli sprawdź słuszność III prawa Keplera dla planet: Ziemia i Jowisz. Dla Merkurego (0,387)3 = (0.24)2 = 0,058.
Karta pracy grupy uczniów nr 2
Oblicz masę Ziemi na podstawie danych o ruchu Księżyca. Przyjmuj dla uproszczenia, że odległość Ziemia – Księżyc wynosi 400 tysięcy kilometrów.
Karta pracy grupy uczniów nr 3
Oblicz odległość od środka Ziemi satelity geostacjonarnego.
Karta pracy grupy uczniów nr 4
1. Obejrzeć, zrozumieć i pokazać innym UU filmik o ruchu planety zewnętrznej (na przykład Marsa) oglądany z Ziemi.
2. Na załączonym rysunku nałożone są trajektorie planety Wenus i Ziemi oglądane z zewnątrz Układu Słonecznego. Objaśnij ten rysunek.
Film o orbicie Wenus
Earth Venus Tango round the Sun - YouTube
Film pokazuje ruch pojedynczej planet Wenus wokół Słońca. Zastosowano przybliżenie, które daje 13 orbit Wenus w ciągu 8 lat ziemskich. W przybliżeniu takim rok ziemski skrócony został o około 2 godziny i 42 minuty.
Karta pracy grupy uczniów nr 5
Obejrzyj film pt. „Tango Ziemi i Wenus wokół Słońca. Po jego obejrzeniu wyjaśnij załączony rysunek.
Earth Venus Tango round the Sun
https://www.youtube.com/watch?v=4cgQNUhtmHM
Podsumowanie
N. W astronomii prawa Keplera dają przybliżony opis ruchu planet dokoła Słońca. Zebrane razem prawa Keplera są:
1. Orbita każdej z planet jest elipsą; Słońce znajduje się w jednym z dwu ognisk elipsy.
2. Linia łącząca planetę i Słońce (tzw. promień wodzący) zakreśla pola o jednakowej powierzchni w jednakowych odstępach czasu.
3. Kwadrat okresu obiegu planety po orbicie jest proporcjonalny do sześcianu większej osi orbity.
Wyprowadzenie tych praw z prawa ciążenia powszechnego, dla elipsy o dowolnym mimośrodzie jest trudniejsze niż dla orbity kołowej i wymaga rachunku wyższego.
Przypuśćmy dla przykładu, że planeta B jest 4 razy dalej od Słońca niż planeta A, por. rys. 4. Wtedy planeta B musi przebyć po pełnej orbicie odległość 4 razy większą niż planeta A na swojej orbicie. Co więcej okazuje się, że planeta B musi posuwać się po orbicie z prędkością dwa razy mniejszą niż planeta A, po to by być w równowadze ze zmniejszoną siłą dośrodkową. W ten sposób planeta B potrzebuje 4×2=8 razy więcej czasu na wykonanie pełnego obiegu po orbicie niż potrzebuje go planeta A, w zgodzie z trzecim prawem Keplera (82 =43 ).
Istotnie, z powyższej tablicy widzimy, że Mars krąży wokół Słońca w odległości około 4 razy większej niż Merkury, natomiast okres obiegu Marsa jest około 8 razy większy od okresu obiegu Merkurego.
N. podaje informację o starcie satelity „Heweliusz”
Zauważmy, że prawa Keplera są prawami kinematycznymi, mówią o ruchu, ale nie mówią o siłach, które ruch wywołują. Dynamikę planet wykrył Izaak Newton i on objaśnił znaczenie fizyczne praw Keplera, dlaczego tak się dzieje.
Praca domowa
Na początku XVII wieku, Jan Kepler wykrył, że orbity wzdłuż których planety poruszają się wokół Słońca są elipsami. Pod koniec tego samego wieku Izaak Newton wyjaśnił, że prawa Keplera wynikają z prawa powszechnego ciążenia.
Porównaj prawa Keplera z układem Kopernika
Prawa Keplera udoskonalają założenia układu Kopernika. Jeżeli mimośród orbity jest zero, prawa Keplera przyjmują postać kopernikańską:
1. Orbita planety jest kołem, ze Słońcem w środku koła.
2. Szybkość planety na orbicie jest stała
3. Kwadrat okresu obiegu (okres gwiazdowy czyli syderyczny) jest proporcjonalny do sześcianu odległości od Słońca.
Poprawki Keplera do modelu kopernikańskiego nie są całkiem oczywiste:
1. Orbita planety nie jest kołem, lecz elipsą. Słońce nie jest w środku, ale w ognisku.
2. Ani szybkość liniowa ani prędkość kątowa nie są na orbicie stałe; stała jest tylko prędkość powierzchniowa.
3. Kwadrat okresu obiegu (okres gwiazdowy) jest proporcjonalny do sześcianu średniej między odległością maksymalną i minimalną od Słońca.
Prawa Keplera opisują w przybliżeniu ruch dowolnych dwu ciał po orbicie jednego wokół drugiego. Stwierdzenie w pierwszym prawie o ognisku jest tym bardziej ścisłe im masa jednego z ciał jest mniejsza w porównaniu z masą drugiego.
Również wtedy gdy jest więcej ciał, stwierdzenia praw Keplera są tym bardziej ścisłe im mniejsze są masy tych ciał w porównaniu z masą wybranego jednego ciała (masą Słońca w naszym układzie planetarnym). Wtedy można zaniedbać zaburzenia ruchu jednej planety przez ruchy innych planet.
Masy dwu ciał mogą być porównywalne, jak np. gwiazdy podwójne, mogą być w małym stosunku, np. Charon – Pluton (~1:10), Księżyc – Ziemia (~1:100), lub w bardzo małym stosunku, np. Merkury – Słońce (~1:10 000 000)
W ogólności, w przypadku ruchu dwu ciał obrót zachodzi wokół środka masy tych ciał; żadne z nich nie ma środka masy dokładnie w jednym z ognisk elipsy. Tym niemniej obie orbity są elipsami o jednym z ognisk w środku masy układu dwu ciał. Im większa jest jedna masa w stosunku do drugiej, tym bardziej położenie środka większej masy zbliża się do środka masy układu.
W przypadku Układu Słonecznego największą masę mają Jowisz i Saturn, odpowiednio (1/1047) i (1/3498) masy Słońca. W związku z tym środek masy Układu Planetarnego wychodzi nieraz poza obszar Słońca, nawet o całą średnicę Słońca od jego środka. W ten sposób pierwsze prawo Keplera, chociaż zupełnie niezłe jako przybliżenie, nie opisuje ściśle ruchu planet po orbitach.
Kepler odnosił swoje wyniki tylko do Słońca i jego planet, i być może nie zdawał sobie sprawy z ich znacznie szerszego znaczenia.
W czasach Keplera jego prawa były radykalnym wyzwaniem rzuconym nauce, wtedy gdy przeważał jeszcze starożytny pogląd o kołowych orbitach planet. Jednocześnie obserwacje Keplera pogłębiały pogląd Kopernika. Okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy, o zerowym mimośrodzie. Orbity większości planet mają niskie wartości mimośrodu, co stanowi wytłumaczenie dla tak długo panującego przesądu.
Jakie jest znaczenie odkryć Keplera dla fizyki?
Prawa Keplera, jak to później, w 60 lat po ich podaniu pokazał Newton, stanowią klucz do zrozumienia Wszechświata. To na ich podstawie zostało wykryte prawo powszechnego ciążenia.
Prawie 300 lat później, w roku 1909 Hans Geiger i Ernest Marsden kierując się sugestią Ernesta Rutherforda odkryli, że dodatnio naładowane cząstki alfa (jądra atomu helu) rozpraszają się na folii ze złota znacznie silniej do tyłu niż przewidywano. Rutherford wywnioskował, że silne zawrócenie biegu cząstek wskazuje na to, że atom jest prawie pusty i że ładunek dodatni atomów złota skupiony jest w obszarze niewielkim wobec rozmiarów atomu. Tak wykryto jądro atomowe. Wystarczyło zamiast pola grawitacyjnego podstawić pole elektryczne, i zamiast mas planet ładunki jąder, jak to jest w analogii prawo powszechnego ciążenia Newtona – prawo elektryczne Coulomba. Następnie, obraz ten przyjął Niels Bohr, który w roku 1913 dokonał kwantowej modyfikacji modelu Rutherforda i z powodzeniem objaśnił formułę Rydberga częstości emisyjnych linii widmowych atomu wodoru.
01.06.2021
