W arkuszach egzaminacyjnych z matematyki na poziomie podstawowym w Formule 2023 przedstawionych przez CKE powtarza się zadanie z wykorzystaniem podzielności liczb. Poniżej przedstawiam 3 różne zadania stanowiące bazę do innych zadań z wykorzystaniem podzielności.
Najczęstsze błędy popełniane przez zdających podczas rozwiązywania zadań z podzielności:
Zadania na podzielność (źródło: materiały CKE dla doradców metodycznych)
Zadanie 1.( maj 2014) Udowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby 3k2 przez 7 jest równa 5.
I sposób rozwiązania
Ponieważ liczba całkowita k przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, więc k=7m+2, gdzie m jest liczbą całkowitą. Wówczas
3k2 = 3(7m+2)2 = 3(49m2+28m+4) = 147m2+84m+12= 147m2+84m+7+5 = 7 (21m2+12m+1) +5.
Liczba 21m2+12m+1=c jest całkowita, zatem 7c jest podzielne przez 7, bo 7 jest jednym z czynników.
3k2 jest postaci 7c+5 , to oznacza, że reszta z dzielenia liczby 3k2 przez 7 jest równa 5.
II sposób rozwiązania
Ponieważ liczba całkowita k przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, więc k≡2(mod7).
Stąd wynika, że k2≡4(mod7). Ponadto 3 ≡ 3(mod7), więc z własności kongruencji 3k2≡3∙4(mod7)≡12(mod7)≡5. To kończy dowód.
Zadanie 2. (Informator od 2015 PR) -sprawdzane wymagania są w zakresie wymagań egzaminacyjnych dla poziomu podstawowego
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k(k+1)(k+9)(k2+1) jest podzielna przez 5.
Rozwiązanie
Iloczyn jest podzielny przez 5, jeżeli co najmniej jeden z czynników jest podzielny przez 5.
Jeżeli k=5n (nϵZ), to pierwszy czynnik jest podzielny przez 5.
Jeżeli k=5n+1, to czynnik k+9 = 5n+10=5(n+2) jest podzielny przez 5.
Jeżeli k= 5n+2, to czynnik k2+1 = 25n2 + 20n +4+1= 5(5n2+4n+1) jest podzielny przez 5.
Jeżeli k= 5n+3, to czynnik k2+1 = 25n2 + 30n +9+1= 5(5n2+6n+2) jest podzielny przez 5.
Jeżeli k=5n+4, to czynnik k+1=5n+4+1= 5(n+1) jest podzielny przez 5.
Co kończy dowód.
Zadanie 3 (arkusz CKE XII 2022- poziom podstawowy )
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 5n2 + 15n jest podzielna przez 10.
Rozwiązanie
Przekształcamy wyrażenie 5n2 + 15n= 5n(n + 3).
Jeżeli (n jest liczbą parzystą), czyli n = 2k, gdzie k ∈ ℕ, to 5n2 + 15n = 5 ⋅ 2k(2k + 3) = 10k(2 + 3) Ponieważ k jest liczbą naturalną, to liczba 2k + 3 również jest naturalna, a iloczyn 10 ⋅ k(2k + 3) jest podzielny przez 10.
Jeżeli (n jest liczbą nieparzystą), czyli n = 2k + 1, gdzie k ∈ ℕ, to 5n2 + 15n =5n(n + 3)= 5(2k + 1)(2k + 1 + 3) = 10(2k + 1)(k + 2)
Ponieważ k jest liczbą naturalną, to liczby 2k + 1 oraz k + 2 również są naturalne, a iloczyn 10 ⋅ (2k + 1)(k+ 2) jest podzielny przez 10.
Co kończy dowód.
Wkrótce umieszczę listę zadań do wyćwiczenia tej umiejętności badanej podczas egzaminu maturalnego z matematyki na poziomie podstawowym.
Koszalin, 16.02.2023 Barbara Pawlak
doradca metodyczny matematyki
kontakt: barbarapawlak@cen.edu.pl