Zadania na dowodzenie, dotyczące podzielności liczb- matura w Formule 2023 i Formule 2015 (16.02.23)

W arkuszach egzaminacyjnych z matematyki na poziomie podstawowym w Formule 2023 przedstawionych przez CKE powtarza się zadanie z wykorzystaniem podzielności liczb. Poniżej przedstawiam 3 różne zadania stanowiące bazę do innych zadań z wykorzystaniem podzielności.

Najczęstsze błędy popełniane przez zdających podczas rozwiązywania zadań z podzielności:

  1. Brak zrozumienia pojęcia dzielenia w zbiorze liczb całkowitych, używanie liczb wymiernych, ułamków zapisanych działań na liczbach;
  2. Nieumiejętność zapisania liczby całkowitej za pomocą dzielnika i reszty tj. w postaci n=ka+r
  3. Błędy w działaniach na potęgach i stosowaniu wzorów skróconego mnożenia;
  4. Bark zrozumienia istoty dowodu matematycznego, posługiwanie się przykładami, dzielenie bardzo dużych liczb;
  5. Nieznajomość metod (np. cech podzielności, brak rozpatrywania przypadków, związanych z klasami abstrakcji).

 

Zadania na podzielność (źródło: materiały CKE dla doradców metodycznych)

Zadanie 1.( maj 2014) Udowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby 3k2 przez 7 jest równa 5.

I sposób rozwiązania

Ponieważ liczba całkowita k przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, więc k=7m+2, gdzie m jest liczbą całkowitą. Wówczas

3k2 = 3(7m+2)2 = 3(49m2+28m+4) = 147m2+84m+12= 147m2+84m+7+5 = 7 (21m2+12m+1) +5.

Liczba 21m2+12m+1=c jest całkowita, zatem 7c jest podzielne przez 7, bo 7 jest jednym z czynników.

3k2 jest postaci 7c+5 , to oznacza, że reszta z dzielenia liczby 3k2 przez 7 jest równa 5.

 

II sposób rozwiązania

Ponieważ liczba całkowita k przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, więc k≡2(mod7).

Stąd wynika, że k2≡4(mod7). Ponadto 3 ≡ 3(mod7), więc z własności kongruencji 3k2≡3∙4(mod7)≡12(mod7)≡5. To kończy dowód.

Zadanie 2. (Informator od 2015 PR) -sprawdzane wymagania są w zakresie wymagań egzaminacyjnych dla poziomu podstawowego

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k(k+1)(k+9)(k2+1) jest podzielna przez 5.

Rozwiązanie

Iloczyn jest podzielny przez 5, jeżeli co najmniej jeden z czynników jest podzielny przez 5.

Jeżeli k=5n (nϵZ), to pierwszy czynnik jest podzielny przez 5.

Jeżeli k=5n+1, to czynnik k+9 = 5n+10=5(n+2) jest podzielny przez 5.

Jeżeli k= 5n+2, to czynnik k2+1 = 25n2 + 20n +4+1= 5(5n2+4n+1) jest podzielny przez 5.

Jeżeli k= 5n+3, to czynnik k2+1 = 25n2 + 30n +9+1= 5(5n2+6n+2) jest podzielny przez 5.

Jeżeli k=5n+4, to czynnik k+1=5n+4+1= 5(n+1) jest podzielny przez 5.

Co kończy dowód.

Zadanie 3 (arkusz CKE XII 2022- poziom podstawowy )

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 5n2 + 15n jest podzielna przez 10.

Rozwiązanie

Przekształcamy wyrażenie  5n2 + 15n= 5n(n + 3).

Jeżeli (n jest liczbą parzystą), czyli n = 2k, gdzie k ∈ ℕ, to 5n2 + 15n = 5 ⋅ 2k(2k + 3) = 10k(2 + 3) Ponieważ k jest liczbą naturalną, to liczba 2k + 3 również jest naturalna, a iloczyn 10 ⋅ k(2k + 3) jest podzielny przez 10.

Jeżeli (n jest liczbą nieparzystą), czyli n = 2k + 1, gdzie k ∈ ℕ, to  5n2 + 15n =5n(n + 3)= 5(2k + 1)(2k + 1 + 3) = 10(2k + 1)(k + 2)

Ponieważ k jest liczbą naturalną, to liczby 2k + 1 oraz k + 2 również są naturalne, a iloczyn 10 ⋅ (2k + 1)(k+ 2) jest podzielny przez 10.

Co kończy dowód.

 

Wkrótce umieszczę listę zadań do wyćwiczenia tej umiejętności badanej podczas egzaminu maturalnego z matematyki na poziomie podstawowym.

 

Koszalin, 16.02.2023                                                                                                             Barbara Pawlak

                                                                                                                                               doradca metodyczny matematyki

kontakt:  barbarapawlak@cen.edu.pl